行列のできる?共分散構造分析(SEM)その1


行列のできる?共分散構造分析(SEM)その1です。確かに沢山行列でてきます。嫌というほど出てきます。そんなSEMを理解するために備忘録メモをあくまで自分用に作成しました。再度言いますがあくまでメモのため、(ある程度)分かる人にしかわかりません。また仰々しくもその1とついていますが、その3はあるかどうかわかりません。その2くらいはやりますが。

もっと知りたい方は一昨日のまとめページのほうがずっとわかりやすいのでそちらをご覧ください。ちなみにジオサイエンスの分野でSEMといえば走査型電子顕微鏡なわけです。さて本題。

とその前に今回の先生を紹介します。

 

 

とても教え方の旨い先生、good teacher です。

 

共分散構造分析とは(Wikipediaより)

共分散構造分析(きょうぶんさんこうぞうぶんせき、英語:Covariance Structure Analysis)とは、複数の構成概念間の関係を検討することができる統計的手法の1つである。構造方程式モデリング(Structual Equation Modeling)とも呼ばれる。内生変数を扱いながら因果関係を調べることができる、すなわち因子分析と回帰分析を同時に行うことができるのが特徴。

→因子分析と重回帰分析が混ざった感じ。変数の分散や共分散が行列になったものと実データの分散や共分散を比較して最尤法で予測する。

因子分析的なエッセンスはこの図を参考に。

sem1図。FTP向上因子のパス図。これが全てを表しているわけではございません。念のため。

例えば自転車のFTPに関して色々ファクターがあるとする。TSSであったりCTLだったり。一方でうおおおおとかメンタル的なファクターもあるとする。それらのファクターを変数化。

上から順番に変数をx1~x6とおいてやると重回帰的には以下の様な式になる。

x1=a1*f+e1

x2=a2*f+e2

x6=a6*f+e6

またfに向くパスになった時は

f=a1*x1 + a2*x2 + ,,,,, + a6*x6 + e (残渣eはまとめた)

となり、多変量式そのものである。

一方でこれらの因子分析を行うとそれなりの値が出てくる。例えばフィットネス因子(a1~a3に強い相関)とモチベーションの因子(a4~a6に強い相関)。しかしながらこれらのaで表わされるファクターを意図的に考えないようにして共分散を出してやるのがこのSEMのキモとなる部分である。a1~a3の部分を行列式で表すと下記のようになる。

\left[ \begin{array}{cccc}  f \\  x_{1} \\  x_{2} \\  x_{3}  \end{array} \right]  =  \left[ \begin{array}{cccc}  0 & 0 & 0 & 0 \\  a_{11} & 0 & 0 & 0 \\  a_{21} & 0 & 0 & 0 \\  a_{31} & 0 & 0 & 0  \end{array} \right]  \left[ \begin{array}{cccc}  f \\  x_{1} \\  x_{2} \\  x_{3}  \end{array} \right]+  \left[ \begin{array}{cccc}  f \\  e_{1} \\  e_{2} \\  e_{3}  \end{array} \right]

このケースではa1~a3までの係数に関して求めることができる。a4~a6では意図的に係数をゼロにできるので因子分析特有の回転法は不要。この式を計算しても分かる通り統一的に表現できていることがわかる。また左辺を構造変数t、右辺をパラメータ行列A、構造変数、外生変数u(残渣と捉えることができる)とすると、
t=At+u

と表現することができる。

次回はこれらの共分散式を計算し、実データと比較してみる。

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